derivada

Derivada

Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
El conocimiento de los valores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el conocimiento de la función en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.

Consideremos un segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.
Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la recta PP' se aproxima a la tangente.

Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.

Entonces lim_P'->P α' = α

Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:

          f(x) - f(a)          cateto opuesto  
tan α' =  -----------       ( ---------------- )
             x - a            cateto adyacente     

Así, nuestro proceso de límite está representado por la ecuación:

                          f(x) - f(a)
tan α = lim tan α' = lim  -----------
        x->a         x->a    x - a

A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se denota f'(a)

Definición

Derivada en el punto a

Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:

            f(x) - f(a)
f'(a) = lim ----------- 
        x->a   x - a

Función derivada

La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.

Teorema

Si una función es derivable, entonces es continua.

H) f es derivable en x=a.
T) f es continua en x=a.